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A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos - ENEM 2024
Atualizado em 13/02/2025
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que a distância desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
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2 e 3.
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4 e 5.
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5 e 6.
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7 e 8.
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8 e 9.
Solução
Alternativa Correta: C) 5 e 6.
Para resolver este problema, podemos utilizar a geometria plana e as propriedades do triângulo equilátero.
Entendendo a Situação
Os pontos P1, P2 e P3 representam os locais dos postos de saúde, que formam um triângulo equilátero com lados de 10 km. O ponto H representa o hospital, que está equidistante dos três postos de saúde. Isso significa que H é o centro desse triângulo equilátero.
Cálculo da Distância
Altura do Triângulo Equilátero:
A altura (h) de um triângulo equilátero de lado (l) é dada por: h = (l√3) / 2
No nosso caso, l = 10 km, então: h = (10√3) / 2 = 5√3 km
Distância do Centro ao Vértice:
Em um triângulo equilátero, o centro (H) divide a altura em duas partes: 2/3 da altura para o vértice e 1/3 para a base.
A distância do hospital (H) a um dos postos de saúde (vértice) é 2/3 da altura: (2/3) * 5√3 = (10√3) / 3 km
Valor Aproximado:
√3 ≈ 1,73
Distância ≈ (10 * 1,73) / 3 ≈ 5,76 km
A distância entre o hospital e cada um dos postos de saúde é de aproximadamente 5,76 km.
Área do Conhecimento: Matemática e suas tecnologias
Ano da Prova: 2024
Nível de Dificuldade da Questão: Médio
Assuntos: Geometria Plana, Trigonometria, Álgebra, Aritmética
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