Matemática

No losango abaixo,

Considere as funções 𝑓(x) = 2x + c e g(x) = 5 – 6x, com c > 0. Sejam P e Q os pontos de interseção, com o eixo y, dos gráficos de y = 𝑓(g(x)) e y = g(𝑓(x)), respectivamente.

Na figura a seguir, ABCD é um trapézio com AB=1 e CD=5. Os pontos M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente.

Seja p(x) = x + 2024. A equação

p(x) + p(2x) + p(3x) + ... + p(2023x) + p(2024x) = 0

João e Maria estão passeando pela floresta. Para não se perderem no caminho, levaram consigo uma sacola com 100 pedrinhas, sendo 60 pedrinhas brancas e 40 pedrinhas pretas. A cada 5 passos eles retiram aleatoriamente uma pedrinha da sacola e jogam-na no chão para marcar o caminho.

Quando eles pararam para fazer um lanche, notaram que já tinham sido jogadas 35 pedrinhas brancas e 25 pedrinhas pretas.

Terminado o almoço, Ana foi à cozinha para a escolha das sobremesas. A garota estava decidida a pegar dois itens. Seu pai, preocupado com a alimentação dela, instruiu-a da seguinte forma: "Escolha o que quiser, mas, se você pegar algum pirulito, pegue também alguma fruta". Na cozinha, tinha 5 frutas diferentes, 3 pirulitos diferentes e 2 pedaços de bolos de sabores diferentes.

Considere os conjuntos

A = {x ∈ ℝ | x² – 2x – 24 < 0} e
B = {x ∈ ℝ | 2x – 7 ≤ 0}.

Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos a,b,c, com a ≤ b ≤ c. Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível.

Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir.

Luísa estava conversando com seu irmão ao telefone quando passou perto de uma feira de adoção de animais. Ela comentou que, na feira, havia cachorros, gatos e pintinhos.

O irmão, curioso, perguntou-lhe quantos gatos havia. Luísa, que adora charadas matemáticas, limitou-se a dizer que a quantidade de gatos somada à quantidade de pintinhos era 4 a mais do que a quantidade de cachorros, e que a quantidade de gatos somada à quantidade de cachorros era 6 a mais do que a quantidade de pintinhos.

Sr. Gauss tem uma pizzaria, chamada π-zzaria, que vende dois tipos de pizzas circulares: uma individual, de diâmetro d; e uma de 20 cm de diâmetro, partida em quatro pedaços iguais.

Um restaurante francês oferece um prato sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade mensal x de pratos que é vendida relaciona-se com o preço cobrado através da função p = – 0,4x + 200.

Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC = 5 e A^ BC = 30°,

A figura indica o projeto de uma casa, sustentada por dois pilares e com rampa retilínea, de inclinação α em relação à horizontal, direcionando-se ao subsolo da casa. Todas as medidas indicadas na figura estão em metros. Dados:

Três insetos da mesma espécie foram introduzidos em um ambiente no instante zero. Sete meses depois, constatou-se que havia uma população de 18000 desses insetos no ambiente. Considere que o modelo de crescimento da população desses insetos é exponencial, dado por f(x)=t . u^x , em que t e u são constantes reais e f(x) é a população de insetos após x meses do início da cultura. Observe o gráfico da função, em que x é um número inteiro maior do que 2, e que apresenta os valores aproximados das ordenadas de alguns de seus pontos.

Ana somou dois números distintos sorteados ao acaso do conjunto {8,9,10}. Beto multiplicou dois números distintos sorteados ao acaso do conjunto {3,5,6}.

Uma placa quadrada de massa 2 kg e lado 2 e uma placa retangular de massa 3 kg e lados 2 por 4 possuem suas respectivas massas homogeneamente distribuídas, espessuras desprezíveis e estão dispostas, uma a uma, em um plano cartesiano de eixos ortogonais. Nesse plano cartesiano, as coordenadas do centro de massa C do conjunto das duas placas são calculadas da seguinte forma:

Seja a equação quadrática nx² – x + 1 = 0, em que n é uma constante real, com duas raízes reais positivas e distintas.

Um trapézio retângulo ABCD foi dividido em um paralelogramo EBCF, um triângulo retângulo EFG e um retângulo AEGD de áreas denotadas por S₁, S₂ e S₃, respectivamente. O trapézio, representado no plano cartesiano, mostra que os vértices dos três polígonos estão perfeitamente situados na interseção de linhas da malha quadriculada.

Analise o gráfico, que contém dados de matrículas no ensino superior presencial das 27 unidades da nossa Federação. Considere que essa rede de ensino superior presencial distribui-se apenas em privada ou pública.

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

O Atlas da Violência, publicado em 2019 e organizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada e Fórum Brasileiro de Segurança Pública, apresenta um estudo para melhor compreender a violência no país. Os dados que ali constam referem-se ao período de 2007 a 2017. Um dos capítulos desse documento trata, especificamente, da violência contra a mulher. O gráfico a seguir mostra a evolução da taxa de homicídios de mulheres (equivalente ao número de homicídios por 100 mil mulheres), de 2007 a 2017, no Brasil e nas três unidades federativas com as menores taxas em 2017.

Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

Considere o sistema linear

Considere a função f, dada por f(x) = b^x, com b > 0, b ≠ 1 e x ∈ , e a sua inversa f^–1. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de f e outro ao gráfico de f^–1. Determine ? + ?.

No Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a regulamentação para vagas de estacionamento em um edifício para diferentes tipos de veículos. De acordo com o código, as dimensões de uma vaga de estacionamento são estabelecidas de acordo com o tipo de veículo, conforme a seguinte tabela:

Na figura a seguir, é apresentada parte de um projeto de garagem para um edifício. Foram projetadas vagas para automóveis e uma vaga para moto, no formato de paralelogramo, com ângulo α de medida 60°.

Uma empresa de alimentos utiliza embalagens, no formato de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 2 cm x 3 cm x 11 cm, para armazenar biscoitos. Para o transporte desse produto, são utilizadas caixas para acondicionar essas embalagens, também no formato de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 12 cm x 13 cm x 26 cm. A imagem a seguir ilustra um paralelepípedo reto-retângulo

Um relógio digital utiliza os seguintes numerais para representar um determinado horário:

Esse relógio está colocado sobre uma mesa de vidro, de forma que o vidro reflete o horário em sua superfície. A figura mostra um exemplo dessa situação:

Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12.

Uma empresa farmacêutica produz certo medicamento, o qual é formado por quatro componentes, conforme indicado na tabela I. O custo do grama de cada um dos componentes desse medicamento também é apresentado nessa tabela.

Para a produção do próximo lote do medicamento, a empresa terá um gasto diferente para fabricá-lo, pois os custos de alguns componentes sofreram alterações, conforme mostra a tabela II.

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até 3/4 de sua altura, conforme ilustrado na figura.

Matrizes podem ser usadas para se obter informações sobre uma rede social. Para compreender como isso pode ser feito, consideremos como exemplo uma pequena rede social formada por 4 pessoas: P₁, P₂, P₃, P₄. A matriz associada a essa rede social é a matriz 4 × 4:

O valor 1 (um) na posição a₃₂ (linha 3, coluna 2) da matriz significa que a pessoa P₃ segue a pessoa P₂, ao passo que o valor 0 (zero) na posição a₂₄ (linha 2, coluna 4) significa que a pessoa P₂ não segue a pessoa P₄. O valor 0 (zero) será atribuído às posições aii. O significado do valor da posição b_mn da matriz produto M x M = M² é a quantidade de conexões da pessoa Pm até a pessoa Pn passando exatamente por uma pessoa, diferente delas duas, que chamaremos de conexão de grau 2. Dessa forma, os valores das posições da matriz M² podem refletir o alcance da rede social, suas potencialidades e fraquezas, a influência de certos membros dela, dentre outros aspectos

Admita neste problema a seguinte definição simbólica:

Os pontos A(3, – 2) e C(–1, 4) do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são AC e BD.

O PIB de um país cresceu 4% ao ano no período de 2000 a 2010. Considerando 26¹⁰ = b e 25¹⁰ = c, o valor do PIB desse país em 2010 era igual ao de 2000 multiplicado por

Para completar o álbum de figurinhas da Copa do Mundo, são necessárias 670 figurinhas diferentes. Sabendo-se que cada pacotinho contém 5 figurinhas, todas distintas, o total de pacotinhos diferentes que podem ser formados com as figurinhas do álbum pode ser calculado por meio do produto

A figura indica, no plano cartesiano, o triângulo PQR, as equações das retas e a intersecção das retas e no ponto R = (8, 0).

Ana e Beto estão poupando dinheiro individualmente. Atualmente, o dinheiro que Ana e Beto já pouparam está na razão de 13 para 7, nessa ordem. Se Ana desse para Beto R$ 90,00 da sua poupança, os dois ficariam com poupanças de mesmo valor.

Seja IR → IR uma função polinomial do segundo grau, dada por f(x) = x² + mx + p, com m, p ∈ IR.

Na matemática, o número 1 gugol equivale a 10¹⁰⁰.

A figura indica duas circunferências, C₁ e C₂, de centros P e Q, respectivamente. O ponto R indica uma das intersecções de C₁ e C₂. Sabe-se que tg α é igual à dízima periódica 0,53333....

Analise o gráfico.

Se a área do teatro, correspondente ao setor circular de centro P e arco , é de 600π m², sua capacidade máxima, em número de assentos, é igual a

Antônio comprou um bilhete com um número de rifa de eletrodoméstico por R$ 3,00, com chance de 1 em 8 000. Sabe-se que cada bilhete da rifa tinha exatamente um número e custava o mesmo valor, e que os organizadores do sorteio venderam todos os bilhetes e tiveram lucro de 60% sobre o custo de compra do eletrodoméstico.

A tabela indica o chaveamento de 8 times que chegaram às quartas de final de um torneio de futebol. Nos jogos de quartas de final, as porcentagens ao lado de cada time indicam sua probabilidade de seguir adiante no torneio. Nos jogos da semifinal, as probabilidades de cada time dos grupos E e F são iguais a 50%.

De um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm por 6√2 cm por 6√2 cm serão retirados dois cubos, cujos lados medem x cm. Esses cubos têm três arestas contidas em três arestas do paralelepípedo e uma das faces contida em uma mesma face quadrada do paralelepípedo.

O alumínio é um metal valorizado por ter baixa densidade e baixa temperatura de fusão, o que o torna ideal para a fabricação de embalagens baratas, resistentes e de fácil reciclagem, além de amplo uso na fabricação de veículos. O gráfico mostra um comparativo de cinco metais, incluindo o alumínio, para cinco propriedades. div class="text-center">

Observe a figura, formada por um triângulo PQR inscrito em uma circunferência de diâmetro PR = 10 m, em que PQ = 6 m. Uma partícula se move sobre a linha contínua, iniciando seu movimento em P, passando por Q, depois por R e, finalmente, voltando a P, como mostram as setas sobre a trajetória.

Na figura, BELO é um losango com vértices E e O nos lados , respectivamente, do retângulo BALU. A diagonal de BALU forma um ângulo de 30º com o lado , como mostra a figura.

Considere o trecho da notícia veiculada no Reino Unido.

A YouGov survey of more than 16,000 adults found that of the 40% of people who asked for a pay rise, just over a quarter succeeded.

Examine os dados comparativos simplificados entre Júpiter, Terra e Sol, considerando-se modelos esféricos e movimentos circulares dos planetas em torno do Sol.

Em um município, a conta de água residencial é composta por um valor fixo de R$ 4,00 somado a um valor variável, de acordo com o consumo de água da residência. O valor variável é composto da seguinte forma: M reais por m³ de água até o consumo de 12 m³ e N reais por m³ de água que exceda 12 m³. O gráfico descreve a composição do valor da conta de água residencial nesse município.

Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola.

Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, João decidiu comprar todas as cartelas em que a numeração exibisse os números 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, João comprou as cartelas 1205 e 0025, mas não comprou as cartelas 0514 e 2000.

Considere as afirmações:
I) João comprou 108 cartelas.
II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas.
III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3.

A figura mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa.

Para qual valor de a o sistema de equações lineares

Considere a sequência x₁, x₂, ... , definida por x₁ = 6, e para cada n ≥ 1, temos x_n+1 = f(x_n), ou seja,

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”. Considere a função

definida para x ∈ R, x ≠ 1, que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

Suponha que uma função ƒ(x) satisfaça à propriedade ƒ(x . y) = ƒ(x) + ƒ(y).

Três números reais distintos a, b, c são tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O valor do produto abc é

Uma forma de apresentar dados é usar um gráfico de radar. Este tipo de gráfico é composto por segmentos uniformemente espaçados, dispostos em torno de um ponto. Os segmentos representam diferentes valores, valores esses que aumentam conforme a distância em relação ao centro se torna maior. Gráficos de radar são frequentemente usados em jogos eletrônicos para representar o desempenho, em diferentes aspectos, dos personagens.
Enzo tem uma livraria e vende obras dos gêneros Romance, Ficção, Tecnologia, Biografias e Infantil. Ele representou no gráfico de radar, a seguir, quantas obras diferentes de cada um desses gêneros foram vendidas em 2020 e 2021. Por exemplo, em 2021, foram vendidas 20 obras do gênero Tecnologia. Note que o gráfico não indica quantos exemplares de cada obra foram efetivamente vendidos, indica apenas o número de obras que tiveram exemplares vendidos para os gêneros indicados.

A seguir, são apresentadas quatro funções, definidas para x ∈ R; são também apresentados quatro esboços de gráficos.

Gráficos:

Um recipiente de 30 litros contém uma solução de 14 partes de álcool e 1 parte de água. Quantos litros de água devem ser adicionados para que se tenha uma solução com 70% de álcool?

As profissões de mágico e de matemático podem dialogar entre si. Um exemplo disso são as ordens cíclicas – sequências que se repetem – utilizadas em truques com baralhos.
Suponha que, antes de realizar um truque de adivinhação, um mágico disponha as cartas de um baralho na ordem cíclica representada na figura.

Durante a apresentação, são convidados ao palco três espectadores. O mágico pede a um dos espectadores que separe o baralho de cartas em duas partes (corte), colocando a parte de baixo em cima da outra.
O mágico então irá distribuir 3 cartas em sequência aos espectadores convidados. Assim, ele pega a primeira carta do topo do baralho e entrega ao primeiro espectador. Em seguida, pega a próxima carta e entrega ao segundo espectador e, por fim, retira a carta seguinte e entrega ao terceiro espectador.
Ele pergunta ao primeiro espectador somente o símbolo que identifica a carta que está com ele, o qual responde que tem um K.
Para o segundo espectador, o mágico pergunta apenas o naipe, obtendo a informação que é ♦.

Cada carta possui um símbolo (número ou letra); e um naipe (♣; ♥; ♠; ♦).

Mágicos podem utilizar técnicas que mexem com o imaginário e o senso lógico das pessoas. Um exemplo disso é o truque “Dado Dinamite”.

Nele, o mágico apresenta um cartão no qual o público vê um ponto no centro; ao virar o cartão e mostrar o verso, o público vê dois pontos no cartão. Quando o mágico vira novamente esse cartão, onde o público enxergava um ponto, agora vê dois pontos e, virando novamente, o público vê, então, três pontos.

Um estudante de Construção Civil da Fatec está executando um desenho técnico, para um projeto de uma fazenda vertical. Na planta baixa, apresentada na imagem, estão especificadas algumas medidas na escala 1:500 – em que 1 m na medida real corresponde a 0,2 cm na planta baixa.

A Orientação Profissional (OP) tem, dentre seus objetivos, promover a reflexão sobre possíveis carreiras para um indivíduo.
Entre os instrumentos utilizados pela OP, está a Escala de Aconselhamento Profissional (EAP) que parte do pressuposto de que as profissões são escolhidas em função das preferências das pessoas em relação a diferentes situações.
Essa escala está organizada em sete dimensões, como mostrado na tabela.

Ao trabalhar com o serviço de entregas (delivery), um aspecto avaliado é o “raio de entrega” dos pedidos, pois ele influencia a cobrança de taxas.
Suponha que uma empresa estabeleça em 5 km o seu raio máximo de atuação. Um cliente, que mora exatamente no limite dessa região, realiza seu pedido via aplicativo (app).
Ao realizar o pedido, o app pede que o cliente informe um ponto de referência para auxiliar o entregador. Esse cliente em questão, para fornecer o ponto de referência, escreveu: “Moro a exatamente 1 km da Avenida Bom Sucesso, em uma rua paralela a ela”.
Devido a um problema no app, o entregador não consegue visualizar o endereço do cliente, tendo acesso apenas ao esquema da figura.

No dicionário, um verbete é um texto organizado assim: primeiro vem a palavra (chamada de entrada), depois sua classe morfológica e gênero e, por fim, os diferentes sentidos da palavra.
A figura apresenta um verbete de dicionário, cuja entrada foi omitida devido a um erro de impressão.

Os aplicativos de entrega modificaram o consumo e os hábitos de trabalho. Por exemplo, no que se refere aos valores recebidos pelos entregadores, um aplicativo paga, na cidade de São Paulo, R$ 3,20 para cada retirada de alimento, R$ 1,40 por entrega realizada e, para cada quilômetro rodado, o entregador ganha R$ 1,10.

Em uma sociedade digital, dados são transmitidos em formas de dígitos binários, ou simplesmente bits (acrônimo de binary digits). Cada bit é representado pelo algarismo 0 (zero) ou pelo algarismo 1 (um).
Nos circuitos eletrônicos, esses bits são transmitidos por pulsos de corrente elétrica (um) ou pela ausência dela (zero). Cada um dos caracteres é representado por uma sequência finita desses algarismos binários.

Na tabela, estão representados alguns caracteres e sua equivalência binária. Por sua vez, o gráfico representa apenas um desses caracteres.

O carro de um motorista de aplicativo, durante uma corrida entre as cidades de Barueri e Guarulhos, após completar 25% do trajeto, quebrou. Ao acionar seu seguro, foi informado de que o guincho mais próximo estava a 14,5 km de distância dele, em um posto de atendimento que ficava exatamente na metade da distância entre as duas cidades.

Platão (428 a.C. – 347 a.C.), filósofo e matemático grego, defendia uma teoria segundo a qual a natureza era composta por sólidos minúsculos, conhecidos hoje pelo nome sólidos platônicos.
Um sólido platônico, na matemática, é descrito como um poliedro convexo no qual
• todas as faces são formadas por polígonos regulares e congruentes entre si;
• o mesmo número de arestas encontra-se em todos os vértices; e
• os ângulos poliédricos são congruentes entre si.

Muitos séculos depois, os químicos estabeleceram teorias que lhes permitiram a criação de modelos de geometrias moleculares, algumas das quais estão mostradas na imagem.

Qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m_ij, em que “i” representa a linha e “j”, a coluna em que esse elemento se localiza.
Dada a matriz M, considere que cada elemento m_ij da matriz apresentada indica a quantidade, em quilogramas, da hortaliça h_i (h₁ = agrião, h₂ = almeirão e h₃ = alface) produzida pela fazenda vertical f_j (f₁, f₂ e f₃).
Assim, cada elemento dessa matriz representa a quantidade de um tipo de hortaliça produzida em média, semanalmente, para cada fazenda.

Em meio às cidades, tem germinado um modelo de negócio: as fazendas verticais.
Nelas os alimentos são cultivados em uma espécie de laboratório que pode ser montado em prédios ou contêineres. Nesse processo, utiliza-se um litro de água por pé de alface, produzindo hortaliça livre de agrotóxicos. Contudo, se fosse no campo, seguindo o modelo tradicional, estima-se que seriam necessários 40 litros de água por pé de alface. Além disso, se no campo a semente pode levar até 70 dias para virar a hortaliça, na fazenda vertical, a média é de 40 dias.
Assim, é correto afirmar que as fazendas verticais promovem uma redução de cerca de I na quantidade de água utilizada na agricultura tradicional, e de aproximadamente II na quantidade de dias para a semente virar hortaliça.

Peter Drucker, pai da Administração moderna, enunciou a proposição “Todas as inovações eficazes são surpreendentemente simples”.
Considere verdadeiras a proposição de Drucker e a proposição p: “uma roda é uma inovação eficaz”.
Em cada alternativa são apresentados diagramas de Euler-Veen, nas quais A é o conjunto das inovações eficazes, B é o conjunto das inovações “supreendentemente simples”, e existe uma região tracejada que representa o conjunto ao qual uma roda pertence.

No plano cartesiano, os pontos (3,2) e (5,4) pertencem ao gráfico da função dada por

y = log₂ (ax + b).

Considere a região do plano cartesiano

A = {(x, y) ∈ R² : |x| + |y| ≤ 1}

esboçada na figura.

Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é composto por polígonos regulares que preenchem todo o plano sem sobreposição e, além disso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números que é definida desta forma: escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono que contém este vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

Dado um número natural n ≥ 2, o primorial de n, denotado por n#, é o produto de todos os números primos menores que ou iguais a n. Por exemplo,

6# = 2 . 3 . 5 = 30.

Para medir o volume de uma pedra com formato irregular, Ana utilizou um recipiente cilíndrico de raio r = 8 cm e com água até a altura de 20 cm. Após colocar a pedra no recipiente, a altura da água subiu para 23,5 cm.

A FIFA (Federação Internacional de Futebol) implementou, em 2018, a versão mais recente do ranking das seleções. Suponha que as seleções A e B, com pontuações P_A e P_B, respectivamente, disputarão uma final de Copa do Mundo. A pontuação atualizada da seleção A após a partida será dada por

e o valor de VA depende do resultado da partida de acordo com a tabela:

Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questões de Matemática e seis de Física. Ele deve escolher questões de um banco de dados que contém três questões de Matemática e oito de Física.

O gráfico mostra a quantidade de emissão de CO₂ (em bilhões de toneladas) em função do ano.

Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões 9/8 e 256/243. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de 9/8 . 9/8 = 81/64.

André e Bianca possuem automóveis que podem ser abastecidos com etanol, gasolina ou uma mistura dos dois combustíveis. Em um mesmo posto de combustível, André abasteceu seu carro com 18 litros da bomba de etanol e 32 litros da bomba de gasolina; já Bianca abasteceu seu carro com 30 litros da bomba de etanol e 20 litros da bomba de gasolina. Sabendo que o valor total pago por André foi 10% maior do que o pago por Bianca, a razão entre os preços, por litro, de etanol e de gasolina é:

Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00. Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana não pagou a 19ª parcela, o valor pago por ela foi:

Em uma feira de produtos orgânicos é vendido arroz a granel. A gerente da feira decidiu oferecer descontos progressivos na venda de arroz, de acordo com os seguintes critérios:

• Quem comprar exatamente 1 kg de arroz paga R$ 5,00.
• Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, maior será o total a pagar.
• Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, menor será o valor por quilo.

Uma via será enfeitada com triângulos equiláteros de lados 1,88 m e 2,68 m. Os dois primeiros triângulos a serem colocados, um de cada tamanho, terão um vértice em comum e todos os triângulos terão dois lados sobrepostos, sendo que um dos lados estará sobre uma reta, conforme mostra o padrão da figura.

Sejam x e y dois algarismos e considere todos os números da forma 34x981y, em que y é a unidade desse número e x é a dezena de milhar.

Considere os seguintes comandos de uma linguagem de programação natural:

• def atribui um valor a uma variável, por exemplo, def n = 5 atribui o valor 5 à variável n.

• n++ aumenta em uma unidade o valor da variável n, por exemplo, se n = 0 e o comando n++ é executado, o valor de n passa a ser 1.

• x = 3x + 1 altera o valor da variável x para o resultado da expressão 3x + 1, por exemplo se x = 7 e o comando x = 3x + 1 é executado, o valor de x passa a ser 22, pois 3⋅7 + 1 = 22.

• x = x/2 altera o valor da variável x para a sua metade, por exemplo se x = 8 e o comando x = x/2 é executado, o valor de x passa a ser 4, pois a metade de 8 é 4.

Considere o seguinte programa escrito nessa linguagem natural:

Em uma academia 40 praticantes de halterofilismo marcaram em uma planilha o maior peso que conseguiram levantar em um sábado e calcularam a média aritmética desses pesos, obtendo o valor de 55 kg. No domingo, alguns praticantes conseguiram levantar 10 kg a mais do que o maior peso que tinham conseguido no dia anterior e os demais só conseguiram igualar a marca do sábado, de maneira que no domingo a média aritmética dos maiores pesos levantados pelas 40 pessoas foi 57 kg.

As distâncias, em km, entre a residência e o trabalho de um grupo de trabalhadores foram representadas em um histograma.

Em um paralelepípedo reto-retângulo está inscrita uma pirâmide de base pentagonal. Dois vértices dessa pirâmide são os vértices de uma das arestas do paralelepípedo e os outros quatro vértices são os pontos médios das arestas da base do paralelepípedo, conforme mostra a figura.

O rombicosidodecaedro é um sólido formado por 62 faces, todas polígonos regulares. Cada vértice do rombicosidodecaedro é um vértice em comum de dois quadrados, um triângulo e um pentágono.

De uma folha retangular de papel de medidas 60 cm por 40 cm serão recortados quatro cantos, de maneira a ser possível construir um paralelepípedo reto-retângulo de área total 1 698 cm², conforme mostra a figura.

A área de um polígono regular pode ser calculada pela fórmula A = P_a/2, em que P é o perímetro e a é o apótema do polígono. Em um decágono regular, uma de suas diagonais forma ângulos retos com seus lados, conforme mostra a figura.

No plano, as circunferências λ₁, de raio 5 cm, e λ₂ têm o mesmo centro O. A e B são pontos de λ₁ tais que>

Em uma malha quadriculada cada quadrículo tem 1 cm de lado. Um triângulo e um retângulo foram desenhados nessa malha com vértices nas intersecções dos quadrículos, conforme mostra a figura.